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UP Police Number System Notes

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UP Police Constable & SI Special

अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number Systems)

वर्दी संकल्प बैच 2026 — गणित का सबसे महत्वपूर्ण और आधारभूत चैप्टर

🚨 वर्दी संकल्प विशेष परिचय: प्यारे उम्मीदवारों, यूपी पुलिस (UPP) भर्ती परीक्षा के हर पिछले वर्ष के पेपर को खंगालने पर पता चलता है कि संख्या पद्धति (Number Systems) से सीधे तौर पर 3 से 5 प्रश्न बनते हैं। यह चैप्टर पूरे मैथ का बेस है। हम इसे बिल्कुल जीरो लेवल से एडवांस लेवल तक बेहतरीन ट्रिक्स के साथ कवर करेंगे।

1. संख्याओं का वर्गीकरण (Classification)

संख्याओं की प्रकृति और व्यवहार को समझने के लिए उन्हें निम्न प्रकार विभाजित किया जाता है। परीक्षा में यहाँ से सीधे कथन वाले प्रश्न बनते हैं:

संख्या वर्ग (Category)विशेषता / परिभाषामहत्वपूर्ण उदाहरण
प्राकृत संख्याएँ (Natural)गिनती में प्रयुक्त होने वाली सभी संख्याएँ (1 से प्रारंभ)।1, 2, 3, 4, 5, …
पूर्ण संख्याएँ (Whole)जब प्राकृत संख्याओं में 0 को भी शामिल कर लिया जाए।0, 1, 2, 3, 4, …
अभाज्य संख्याएँ (Prime)ऐसी संख्याएँ जो केवल 1 और स्वयं से कटें (जिनके केवल 2 गुणनखंड हों)।2, 3, 5, 7, 11, 13, …
सह-अभाज्य (Co-Prime)ऐसी दो संख्याएँ जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) केवल 1 हो।(8, 15), (9, 10)
⚠️ सावधान! परीक्षा का जाल (Exam Traps):
  • संख्या 1 न तो अभाज्य (Prime) है और न ही भाज्य (Composite)।
  • 2 एकमात्र ऐसी संख्या है जो “सम” होने के साथ-साथ “अभाज्य” भी है (Even Prime Number)।
  • 0 (शून्य) एक सम पूर्णांक है, लेकिन यह प्राकृत संख्या नहीं है।
🧩 क्विक माइंडमैप: संख्या संरचना (Number Tree)
वास्तविक संख्याएँ (Real) सभी परिमेय व अपरिमेय मान
पूर्णांक (Integers) धनात्मक, ऋणात्मक एवं शून्य
सह-अभाज्य (Co-Prime) दो संख्याएँ जिनका HCF = 1 हो

2. विभाज्यता के अचूक नियम (Divisibility Rules)

यूपी पुलिस कांस्टेबल और दरोगा (SI) परीक्षा में समय बचाने के लिए ये नियम सीधे काम आते हैं:

संख्याविभाज्यता का शॉर्टकट नियमउदाहरण
3 सेसभी अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए।528 → 5+2+8 = 15 (हाँ, विभाज्य है)
4 सेसंख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाजित होने चाहिए।9524 → 24 (हाँ, विभाज्य है)
8 सेसंख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होने चाहिए।14816 → 816 (816/8 = 102; हाँ)
9 सेसभी अंकों का योग 9 से कटना चाहिए (सबसे ज्यादा पूछा जाने वाला)।6408 → 6+4+0+8 = 18 (हाँ)
11 सेविषम स्थानों के अंकों का योग – सम स्थानों के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणांक हो।1331 → (1+3)-(3+1) = 0 (हाँ)
✨ जादुई ट्रिक: इकाई का अंक निकालना (Unit Digit Trick)

किसी भी संख्या की घात (Power) को 4 से भाग दें। जो शेषफल (Remainder) बचे, उसे इकाई अंक की घात मानकर सरल कर लें।

विशेष ध्यान दें: यदि घात पूरी तरह कट जाए (अर्थात शेषफल 0 हो), तो घात हमेशा 4 का उपयोग करें।

उदा: 745 का इकाई अंक निकालने के लिए, 45 ÷ 4 = शेषफल 1. अतः 71 = 7 (इकाई अंक 7 होगा)।

⚡ सुपर-फास्ट रिवीजन कार्ड्स

अभाज्य संख्या फैक्ट Direct MCQ
1 से 100 तक कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ होती हैं? उत्तर: 25 (और 1 से 50 तक कुल 15 होती हैं)।
परिमेय बनाम अपरिमेय Confusing
22/7 एक परिमेय संख्या है, जबकि π (पाई) एक अपरिमेय संख्या है।

📝 अभ्यास टेस्ट (Target Exam Pattern MCQs)

इन प्रश्नों को स्वयं हल करके देखें और विकल्प पर क्लिक कर अपना उत्तर जाँचें:

प्रश्न 1
यदि संख्या 738A6A, 11 से पूर्णतः विभाजित है, तो ‘A’ का मान क्या होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (9)

सटीक हल:
संख्या = 738A6A
विषम स्थानों के अंकों का योग = A + A + 3 = 2A + 3
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 7 = 21

11 से विभाज्यता के लिए: 21 – (2A + 3) = 0 या 11 होना चाहिए।
यदि हम 21 – (2A + 3) = 0 रखते हैं तो: 18 – 2A = 0 ⇒ 2A = 18 ⇒ A = 9.
अतः ‘A’ का मान 9 होगा।
प्रश्न 2
(341 × 742 × 843) में इकाई का अंक (Unit Digit) ज्ञात करें:
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (4)

सटीक हल:
नियम के अनुसार, सभी घातों को 4 से भाग देंगे:
– 341 → 41/4 ⇒ शेष = 1 → 31 = 3
– 742 → 42/4 ⇒ शेष = 2 → 72 = 49 → इकाई अंक = 9
– 843 → 43/4 ⇒ शेष = 3 → 83 = 512 → इकाई अंक = 2

अब तीनों इकाई अंकों का गुणा करें: 3 × 9 × 2 = 54.
गुणनफल के अंत में 4 आया है, अतः इकाई अंक 4 होगा।
प्रश्न 3
प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं के वर्गों (Squares) का योग कितना होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: A (2870)

सटीक हल:
प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र = [n(n + 1)(2n + 1)] / 6
यहाँ n = 20 दिया गया है।

मान रखने पर: [20 × (20 + 1) × (2 × 20 + 1)] / 6
= [20 × 21 × 41] / 6
= 17220 / 6 = 2870.
अतः कुल योग 2870 होगा।
प्रश्न 4
यदि कोई संख्या 11 and 13 दोनों से विभाज्य है, तो वह आवश्यक रूप से किससे विभाज्य होगी?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (11 × 13) से

सटीक हल:
चूँकि 11 और 13 दोनों अभाज्य (Co-prime) संख्याएँ हैं, गणित के बुनियादी नियम के अनुसार यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से अलग-अलग विभाजित होती है, तो वह उनके गुणनफल (अर्थात 11 × 13 = 143) से भी अनिवार्य रूप से विभाजित होगी।