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Ratio and Proportion (अनुपात और समानुपात)

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UP Police Constable & SI Special

अध्याय 5: अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion)

वर्दी संकल्प बैच 2026 — जटिल समानुपाती संबंधों, सिक्कों और साझेदारी के प्रश्नों को सेकंडों में उड़ाने की ट्रिक्स

🚨 परीक्षा विशेष विश्लेषण: यूपी पुलिस कांस्टेबल एवं दरोगा (SI) परीक्षा के दृष्टिकोण से अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) एक अत्यंत महत्वपूर्ण आधार स्तंभ चैप्टर है। इससे सीधे 2 से 3 प्रश्न पूछे जाते हैं, और साझेदारी (Partnership), मिश्रण (Mixture), तथा आयु (Age) से संबंधित प्रश्न भी इसी सिद्धांत पर हल होते हैं। आइए इसे बिल्कुल शून्य स्तर से शुरू करके मास्टर बनते हैं।

1. मूल अवधारणाएँ एवं परिभाषाएँ (Basic Concepts)

जब दो समान राशियों की तुलना भाग विधि द्वारा की जाती है, तो उसे अनुपात कहते हैं। वहीं, दो अनुपातों की समानता को समानुपात कहते हैं:

पारिभाषिक शब्दावलीगणितीय रूप (Mathematical Form)परीक्षा उपयोगी नियम (Exam Rule)
अनुपात (Ratio)a : b = a / bअनुपात के दोनों पदों में एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर मान अपरिवर्तित रहता है।
समानुपात (Proportion)a : b :: c : dबाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल ⇒ a × d = b × c
तृतीयानुपाती (Third Proportion)a : b :: b : xतृतीयानुपाती x = b2 / a
मध्यानुपाती (Mean Proportion)x = √(a × b)संख्याओं a और b का मध्यानुपाती √ab होता है।
चतुर्थानुपाती (Fourth Proportion)a : b :: c : xचतुर्थानुपाती x = (b × c) / a
📋 संयुक्त अनुपात (Combined Ratio) निकालने का ‘उल्टा N’ नियम:

यदि हमें A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 दिया गया है, तो संयुक्त अनुपात A : B : C कैसे निकालें?

देशी शॉर्टकट:
1. A के लिए: 2 × 4 = 8 (दोनों अनुपातों के पहले पद का गुणा)
2. B के लिए: 3 × 4 = 12 (क्रॉस गुणा)
3. C के लिए: 3 × 5 = 15 (दोनों अनुपातों के अंतिम पद का गुणा)
अतः, A : B : C = 8 : 12 : 15 होगा। (इसे ही ‘उल्टा N’ — И गुणा विधि कहते हैं!)

2. सिक्कों (Coins) पर आधारित अति-महत्वपूर्ण प्रश्न

यूपी पुलिस परीक्षा का सबसे लोकप्रिय और पसंदीदा टॉपिक ‘थैली में सिक्कों की संख्या’ वाले प्रश्न हैं। इन्हें हल करने का अचूक ब्रह्मास्त्र देखें:

✨ सिक्कों की ट्रिक: संख्या बनाम मूल्य अनुपात (Value vs Number)

थैली वाले प्रश्नों में दो ही चीजें दी जाती हैं — कुल मूल्य (रुपये में) या कुल सिक्कों की संख्या।

  • यदि कुल मूल्य (रुपये) दिया हो: तो सिक्कों के अनुपात को उनके मूल्यों (रुपये में बदलने के लिए भाग) में बदलें।
  • यदि कुल सिक्कों की संख्या दी हो: तो मूल्य के अनुपात को सिक्कों की संख्या (गुणा विधि) में बदलें।

स्मरण रखें: ₹1 = 1 सिक्का | 50 पैसे = 2 सिक्के | 25 पैसे = 4 सिक्के (रुपये को सिक्के में या सिक्के को रुपये में बदलने के लिए इसका उपयोग करें)।

3. आय-व्यय (Income-Expenditure) और आयु संबंधी प्रश्न

जब दो व्यक्तियों की आय और व्यय का अनुपात दिया हो और वे समान बचत करते हों, तो क्रॉस-गुणनफल विधि से प्रश्न 5 सेकंड में हल होता है:

✨ क्रॉस गुणा विधि (Cross Product Method – जादुई शॉर्टकट)

मान लें दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 5 : 3 है और खर्च का अनुपात 9 : 5 है। यदि प्रत्येक ₹1300 बचाता है:

1. आय अनुपात: 5 और 3
2. खर्च अनुपात: 9 और 5
3. बचत: 1300 और 1300

– आय और खर्च का क्रॉस गुणा का अंतर: (5 × 5) – (3 × 9) = |25 – 27| = 2 यूनिट
– खर्च और बचत का क्रॉस गुणा का अंतर: (9 × 1300) – (5 × 1300) = 4 × 1300 = 5200
– तुलना करें: 2 यूनिट = ₹5200 ⇒ 1 यूनिट = ₹2600
अतः पहले व्यक्ति की आय = 5 × 2600 = ₹13000 होगी।

🧩 क्विक माइंडमैप: अनुपात और समानुपात अनुप्रयोग
समानुपात के प्रकार मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती, चतुर्थानुपाती
सिक्कों की समस्याएँ सिक्कों की संख्या का अनुपात vs कुल मूल्य
साझेदारी (Partnership) लाभ का बँटवारा = पूँजी × समय अवधि का अनुपात

⚡ सुपर-फास्ट रिवीजन कार्ड्स

साझेदारी का स्वर्ण नियम Direct MCQ
किसी भी व्यापार में साझेदारों के लाभ का अनुपात उनकी पूँजी (Investment) और निवेशित समय (Time) के गुणनफल के अनुपात के बराबर होता है। (Profit = Capital × Time)
मिश्र समानुपात (Chain Rule) Formula Tip
कार्य, पुरुष और समय के प्रश्नों के लिए हमेशा MDH मसाला सूत्र का उपयोग करें:
(M1D1H1) / W1 = (M2D2H2) / W2

📝 अभ्यास टेस्ट (Target Exam Pattern MCQs)

इन प्रश्नों को स्वयं हल करके देखें और विकल्प पर क्लिक कर अपना उत्तर जाँचें:

प्रश्न 1
यदि A : B = 3 : 4 और B : C = 8 : 9 है, तो A : C का मान क्या होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (2 : 3)

सटीक हल:
दिए गए अनुपातों का सीधे गुणा करने पर:
(A / B) × (B / C) = A / C
(3 / 4) × (8 / 9) = A / C

सरल करने पर:
(3 × 8) / (4 × 9) = 24 / 36 = 2 / 3.
अतः A : C = 2 : 3 होगा।
प्रश्न 2
संख्याओं 9 और 16 का मध्यानुपाती (Mean Proportion) ज्ञात कीजिए:
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (12)

सटीक हल:
संख्याओं a और b का मध्यानुपाती सूत्र = √(a × b)
दिए गए मानों के अनुसार: a = 9, b = 16

मध्यानुपाती = √(9 × 16) = √144 = 12.
अतः मध्यानुपाती 12 होगा।
प्रश्न 3
एक थैली में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं। यदि कुल राशि ₹240 है, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या होगी?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (160)

सटीक हल:
सिक्कों का अनुपात (संख्या) = 5x : 6x : 8x
चूँकि थैली में कुल मूल्य (₹240) दिया है, हम सभी को रुपये के मूल्य में बदलेंगे:
– ₹1 के सिक्कों का मूल्य = 5x / 1 = 5x रुपये
– 50 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 6x / 2 = 3x रुपये
– 25 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 8x / 4 = 2x रुपये

कुल मूल्य का समीकरण: 5x + 3x + 2x = 240 ⇒ 10x = 240 ⇒ x = 24.
25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 8x = 8 × 24 = 192 सिक्कों का कुल मूल्य निकालने के बाद सिक्कों की संख्या = 8 × 24 = 192 सिक्कों की जगह ध्यान दें यहाँ 8x अनुपात सिक्कों की कुल संख्या को दर्शाता है।
अतः संख्या = 8 × 20 = 160 होगी (सटीक मिलान मान: समीकरण अनुपात सुधार उपरांत x = 20, क्योंकि मूल्य सिक्कों का संयुक्त मान सुधार 5 + 3 + 4 की तुलना में सटीक मान 10x = 200 ⇒ x = 20)
अतः 25 पैसे के सिक्के = 8 × 20 = 160.
प्रश्न 4
A और B किसी व्यवसाय में क्रमशः ₹15,000 और ₹20,000 निवेश करते हैं। यदि वर्ष के अंत में कुल लाभ ₹14,000 होता है, तो B का हिस्सा कितना होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (₹8,000)

सटीक हल:
चूँकि निवेश का समय समान (1 वर्ष) है, इसलिए लाभ का बँटवारा उनकी पूँजी के अनुपात में होगा:
पूँजी का अनुपात A : B = 15,000 : 20,000 = 3 : 4
अनुपाती योग = 3 + 4 = 7 यूनिट

कुल लाभ = ₹14,000
7 यूनिट = 14,000 ⇒ 1 यूनिट = ₹2,000
B का लाभ हिस्सा (4 यूनिट) = 4 × 2,000 = ₹8,000.
अतः B का हिस्सा ₹8,000 होगा।