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Decimals and Fractions

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UP Police Constable & SI Special

अध्याय 3: दशमलव और भिन्न (Decimals and Fractions)

वर्दी संकल्प बैच 2026 — भिन्नों की तुलना की धांसू ट्रिक्स और दशमलव का सरलीकरण

🚨 परीक्षा विशेष विश्लेषण: यूपी पुलिस कांस्टेबल एवं दरोगा परीक्षाओं में दशमलव और भिन्न (Decimals and Fractions) से कम से कम 2 प्रश्न हर साल देखे जाते हैं। अक्सर परीक्षा में सबसे बड़ी/सबसे छोटी भिन्न पहचानना, भिन्नों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना और दशमलव भिन्नों के मान निकालने जैसे सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं। आइए इन्हें आसान ट्रिक्स के साथ सेकंडों में हल करना सीखते हैं।

1. भिन्नों का वर्गीकरण (Classification of Fractions)

जब किसी संख्या को अंश (Numerator) और हर (Denominator) के रूप में दर्शाया जाता है, तो उसे भिन्न कहते हैं। मुख्य रूप से भिन्न निम्नलिखित तीन प्रकार के होते हैं:

भिन्न का प्रकार (Type)विशेषता / परिभाषामहत्वपूर्ण उदाहरण
उचित भिन्न (Proper Fraction)अंश हमेशा हर से छोटा होता है (अंश < हर)। इसका मान हमेशा 1 से कम होता है।2/3, 5/8, 11/15
अनुचित भिन्न (Improper Fraction)अंश हमेशा हर से बड़ा या उसके बराबर होता है (अंश ≥ हर)।5/3, 9/4, 7/7
मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction)एक पूर्णांक और एक उचित भिन्न का संयुक्त रूप।2 ⅓, 5 ¾
सतत भिन्न (Continued Fraction)सीढ़ीनुमा भिन्न जिसे नीचे से ऊपर हल किया जाता है (लैडर भिन्न)।1 + 1/(2 + 1/3)
⚠️ सावधान! अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना:

जब भी आप किसी प्रश्न को हल करें और उत्तर अनुचित भिन्न के रूप में आए, तो परीक्षा में विकल्प हमेशा मिश्रित भिन्न के रूप में मिल सकता है।
उदा: 17 / 5 को हम लिख सकते हैं: 3 &frac25; (क्योंकि 17 ÷ 5 = भागफल 3, शेषफल 2)।

2. भिन्नों की तुलना करने की धांसू शॉर्टकट्स (Comparison Tricks)

परीक्षा में जब 4 भिन्न देकर पूछा जाए कि “इनमें से कौन सी सबसे बड़ी है?” तो पूरा भाग देने की भूल बिल्कुल न करें। इन दो जादुई ट्रिक्स का उपयोग करें:

✨ ट्रिक 1: तिर्यक गुणा विधि (Cross Multiplication Trick)

दो भिन्नों की तुलना के लिए उनके अंश और हर का क्रॉस गुणा करें। जिसका गुणनफल बड़ा, वह भिन्न बड़ी!

उदाहरण: 5/7 और 9/11 में कौन बड़ा है?

  • क्रॉस गुणा करें: 5 × 11 = 55 (5/7 की तरफ) और 7 × 9 = 63 (9/11 की तरफ)।
  • चूंकि 63 > 55 है, इसलिए 9/11 > 5/7 होगा।
✨ ट्रिक 2: अंतर विधि (Difference Method – सुपरफास्ट)

जब सभी भिन्नों के अंश और हर का अंतर (Difference) समान हो, तो जिसका अंश बड़ा होगा वह भिन्न सबसे बड़ी होगी और जिसका अंश छोटा होगा वह सबसे छोटी होगी!

उदाहरण: 11/13, 15/17, 7/9, 19/21 में सबसे बड़ी भिन्न कौन सी है?

  • सभी में अंश और हर का अंतर जांचें: 13-11 = 2, 17-15 = 2, 9-7 = 2, 21-19 = 2।
  • चूंकि सबका अंतर समान (2) है, इसलिए सबसे बड़े अंश (19) वाली भिन्न 19/21 सबसे बड़ी है और सबसे छोटे अंश (7) वाली भिन्न 7/9 सबसे छोटी है।
🧩 क्विक माइंडमैप: दशमलव और भिन्न संरचना
साधारण भिन्न उचित, अनुचित व मिश्रित भिन्न
दशमलव भिन्न (शांत) निश्चित अंकों के बाद समाप्त (उदा: 0.25)
दशमलव भिन्न (अशांत आवर्ती) बार-बार दोहराने वाले अंक (उदा: 0.333…)

3. दशमलव का वर्गीकरण और बार (Bar) को भिन्न में बदलना

दशमलव संख्याएं दो प्रकार की होती हैं: शांत (Terminating) और अशांत (Non-Terminating)। परीक्षा के दृष्टिकोण से अशांत आवर्ती दशमलव (Recurring Decimals) को साधारण भिन्न में बदलना सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है।

📋 अशांत आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने की स्टेप-बाय-स्टेप विधि:

नियम: 0.ab̄ = (ab – a) / 90

  1. दशमलव के बाद की पूरी संख्या को अंश में लिखें।
  2. जिस संख्या पर बार नहीं है, उसे उसमें से घटा दें।
  3. हर में जितने अंकों पर बार है उतने 9 लिखें, और जितने अंकों पर बार नहीं है उतने 0 अंत में लगाएं।

उदाहरण: 0.125̄5̄ = 0.125̄ (25 पर बार है, 1 पर नहीं)
भिन्न रूप = (125 – 1) / 990 = 124 / 990 = 62 / 495.

⚡ सुपर-फास्ट रिवीजन कार्ड्स

दशमलव का जोड़/घटाव नियम Exam Tip
दशमलव संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय हमेशा दशमलव के नीचे ही दशमलव को संरेखित (align) करें, नहीं तो स्थानीय मान बदल जाएगा।
भिन्नों का आरोही/अवरोही क्रम Direct Trick
आरोही (Ascending) = छोटे से बड़ा क्रम (चढ़ता क्रम)
अवरोही (Descending) = बड़े से छोटा क्रम (उतरता क्रम)

📝 अभ्यास टेस्ट (Target Exam Pattern MCQs)

इन प्रश्नों को स्वयं हल करके देखें और विकल्प पर क्लिक कर अपना उत्तर जाँचें:

प्रश्न 1
निम्नलिखित भिन्नों में से सबसे बड़ी भिन्न कौन सी है?
2/3, 3/5, 8/11, 11/17
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (8/11)

सटीक हल (भाग विधि या तिर्यक गुणा द्वारा):
सभी भिन्नों का दशमलव मान निकालें:
– 2/3 ≈ 0.66
– 3/5 = 0.60
– 8/11 ≈ 0.72
– 11/17 ≈ 0.64

स्पष्ट है कि 0.72 मान सबसे बड़ा है, अतः सबसे बड़ी भिन्न 8/11 है।
प्रश्न 2
0.123̄3̄… (3 पर बार) का साधारण भिन्न रूप क्या होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (37 / 300)

सटीक हल:
संख्या = 0.123̄ (केवल 3 पर बार है, 12 पर नहीं)।
नियम के अनुसार:
– अंश = 123 – 12 = 111 (पूरी संख्या में से बिना बार वाली संख्या घटाई)
– हर = 900 (एक अंक पर बार है इसलिए एक 9, दो अंकों पर बार नहीं है इसलिए दो 0)

साधारण भिन्न = 111 / 900
3 से काटने पर: 37 / 300.
अतः सही विकल्प C है।
प्रश्न 3
व्यंजक 3 ¼ + 1 &frac25; – 2 ½ का मान क्या होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (2 &frac32;0)

सटीक हल (पूर्णांक और भिन्न को अलग करने की विधि):
पूर्णांकों को पहले हल करें: 3 + 1 – 2 = 2
भिन्नों को अलग हल करें: 1/4 + 2/5 – 1/2
हरों (4, 5, 2) का LCM = 20
भिन्न मान = (5 + 8 – 10) / 20 = 3/20

पूर्णांक और भिन्न को संयोजित करने पर: 2 &frac32;0.
अतः सही उत्तर 2 &frac32;0 है।
प्रश्न 4
यदि किसी भिन्न का अंश 20% बढ़ा दिया जाए और उसका हर 10% घटा दिया जाए, तो नई भिन्न का मान 16/21 हो जाता है। मूल भिन्न क्या थी?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (4/7)

सटीक हल:
मान लें मूल भिन्न = x / y
अंश में 20% वृद्धि ⇒ 120% of x
हर में 10% कमी ⇒ 90% of y

नया समीकरण: (120x) / (90y) = 16 / 21
सरल करने पर: (4x) / (3y) = 16 / 21
क्रॉस गुणा करने पर:
x / y = (16 / 21) × (3 / 4) = (4 × 1) / (7 × 1) = 4/7.
अतः मूल भिन्न 4/7 थी।