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HCF & LCM (ल.स.प. और म.स.प.)

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UP Police Constable & SI Special

अध्याय 4: ल.स.प. और म.स.प. (HCF & LCM)

वर्दी संकल्प बैच 2026 — लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक की सबसे तेज और जादुई गणना ट्रिक्स

🚨 परीक्षा विशेष विश्लेषण: यूपी पुलिस कांस्टेबल एवं सब-इंस्पेक्टर (SI) परीक्षाओं में ल.स.प. (LCM) और म.स.प. (HCF) से प्रत्येक वर्ष सीधे 2 से 3 प्रश्न पूछे जाते हैं। परीक्षा में साधारण गुणनफल आधारित सूत्रों से लेकर, घंटियों के एक साथ बजने वाले समय चक्रों, और विशिष्ट शेषफल प्राप्त करने वाले जटिल तार्किक प्रश्न अधिक देखे जाते हैं। चलिए इन सभी प्रारूपों को आसान तरीकों से हल करना सीखते हैं।

1. मूल अवधारणाएँ (Core Concepts)

ल.स.प. और म.स.प. को रटने के बजाय उनके व्यावहारिक अर्थ को समझना अति आवश्यक है, जिससे कठिन इबारती प्रश्नों को समझना आसान हो जाता है:

संकल्पना (Concept)परिभाषा (Definition)व्यावहारिक पहचान (Tricks to Identify)
म.स.प. (HCF)वह बड़ी से बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित (Divide) कर दे।जब प्रश्न में “बड़ी से बड़ी संख्या”, “अधिकतम लंबाई” या “समान माप” ज्ञात करने को कहा जाए।
ल.स.प. (LCM)वह छोटी से छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित (Divided by) हो जाए।जब प्रश्न में “छोटी से छोटी संख्या”, “एक साथ बजने का समय” या “न्यूनतम दूरी” ज्ञात करने को कहा जाए।
📋 सार्वभौमिक गणितीय सूत्र (Golden Formula):

दो संख्याओं के संदर्भ में हमेशा निम्नलिखित नियम लागू होता है:

पहली संख्या (I) × दूसरी संख्या (II) = म.स.प. (HCF) × ल.स.प. (LCM)

एग्जाम पॉइंटर: यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य (Co-Prime) हैं, तो उनका म.स.प. हमेशा 1 होगा, और उनका ल.स.प. उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होगा।

2. भिन्नों और घातांकों का HCF & LCM

परीक्षा में दशमलव, भिन्न या घात (Power) के रूप में संख्याएँ देकर उनका ल.स.प. और म.स.प. पूछ लिया जाता है। इनके नियम बेहद सरल हैं:

प्रारूप (Format)ल.स.प. (LCM) ज्ञात करने का नियमम.स.प. (HCF) ज्ञात करने का नियम
भिन्न (Fractions)अंशों का LCM / हरों का HCFअंशों का HCF / हरों का LCM
घातांक (समान आधार)सबसे बड़ी घात वाली संख्या। (उदा: 25, 28 का LCM = 28)सबसे छोटी घात वाली संख्या। (उदा: 25, 28 का HCF = 25)

3. परीक्षा के विशिष्ट प्रश्न और अचूक शॉर्टकट्स

यूपी पुलिस परीक्षा के पिछले वर्षों के पैटर्न के आधार पर इन तीन श्रेणियों से प्रश्न आना लगभग तय है:

✨ टाइप 1: घंटी बजने या बत्तियों के एक साथ बदलने वाले प्रश्न

जब घंटियाँ अलग-अलग अंतराल (जैसे 10, 15, 20 सेकंड) पर बजती हैं और दोबारा एक साथ बजने का समय पूछा जाए:

अचूक विधि: दिए गए समय अंतरालों का ल.स.प. (LCM) निकालें। प्राप्त सेकंडों को मिनटों में बदलकर दिए गए प्रारंभिक समय में जोड़ दें।

उदा: यदि अंतराल 12, 15 और 18 सेकंड हैं, तो LCM = 180 सेकंड = 3 मिनट। वे हर 3 मिनट बाद एक साथ बजेंगी।

✨ टाइप 2: छोटी से छोटी संख्या जिसमें प्रत्येक दशा में समान शेषफल ‘R’ बचे

वह लघुत्तम संख्या ज्ञात करें जिसे x, y, z से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में ‘R’ शेष बचे:

अचूक विधि: उत्तर = LCM(x, y, z) + R

विशेष परिस्थिति: यदि अलग-अलग शेषफल (क्रमशः a, b, c) बचें, तो अंतर K = (x-a) = (y-b) = (z-c) समान होगा। इस दशा में उत्तर = LCM(x, y, z) – K होगा।

🧩 क्विक माइंडमैप: HCF & LCM अनुप्रयोग संरचना
ल.स.प. (LCM) आधारित घाव/दूरी, घंटियों का अंतराल, न्यूनतम साझा गुणनखंड
म.स.प. (HCF) आधारित बर्तन की अधिकतम धारिता, वर्गाकार टाइल्स की संख्या, समान माप
सूत्र आधारित (Formula Based) I × II = HCF × LCM

⚡ सुपर-फास्ट रिवीजन कार्ड्स

सह-अभाज्य युग्म (Co-Prime Pairs) Exam Fact
यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं (जैसे 8 और 9), तो उनका म.स.प. हमेशा 1 और ल.स.प. हमेशा उन दोनों का गुणनफल (72) होगा।
दशमलव का ल.स.प./म.स.प. Direct Rule
दशमलव संख्याओं का HCF/LCM निकालते समय पहले सभी संख्याओं में दशमलव के बाद के स्थानों की संख्या शून्य लगाकर बराबर कर लें, फिर सामान्य रूप से हल करें।

📝 अभ्यास टेस्ट (Target Exam Pattern MCQs)

इन प्रश्नों को स्वयं हल करके देखें और विकल्प पर क्लिक कर अपना उत्तर जाँचें:

प्रश्न 1
दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है। यदि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 4 है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: C (48)

सटीक हल:
माना संख्याएँ क्रमशः 3x और 4x हैं।
संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है, इसलिए x = HCF = 4.
अतः संख्याएँ होंगी: 3 × 4 = 12 और 4 × 4 = 16.

अब, 12 और 16 का ल.स.प. (LCM) निकालने पर:
LCM(12, 16) = 48.
शॉर्टकट ट्रिक: LCM = अनुपातों का गुणनफल × HCF = 3 × 4 × 4 = 48.
प्रश्न 2
पाँच घंटियाँ एक साथ बजना शुरू होती हैं और क्रमशः 6, 7, 8, 9 तथा 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। कितने सेकंड बाद वे पुनः एक साथ बजेंगी?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (504 सेकंड)

सटीक हल:
एक साथ बजने का अंतराल प्राप्त करने के लिए हमें 6, 7, 8, 9 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना होगा:
– 6 = 2 × 3
– 7 = 7
– 8 = 23
– 9 = 32
– 12 = 22 × 3

LCM में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात ली जाती है:
LCM = 23 × 32 × 7 = 8 × 9 × 7 = 504 सेकंड।
अतः वे पुनः 504 सेकंड के बाद एक साथ बजेंगी।
प्रश्न 3
भिन्नों 2/3, 8/9, 16/81, 10/27 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए:
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: A (2/81)

सटीक हल:
भिन्नों का HCF ज्ञात करने का सूत्र = अंशों का HCF / हरों का LCM
अंश: 2, 8, 16, 10 का म.स.प. (HCF) = 2 (क्योंकि 2 इन सभी को पूर्णतः विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या है)।
हर: 3, 9, 81, 27 का ल.स.प. (LCM) = 81 (क्योंकि 81 इन सभी हरों से पूर्णतः विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या है)।

अतः म.स.प. (HCF) = 2/81 होगा।
प्रश्न 4
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15, 20 और 54 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 8 शेषफल बचे?
💡 व्याख्या और सटीक हल देखें
सही उत्तर: B (548)

सटीक हल:
दी गई संख्याओं (12, 15, 20, 54) का सर्वप्रथम ल.स.प. (LCM) निकालें:
– 12, 15, 20 का LCM = 60
– 60 और 54 का LCM = 540

चूँकि प्रत्येक दशा में 8 शेषफल बचना चाहिए, अतः अभीष्ट संख्या होगी:
LCM(12, 15, 20, 54) + शेषफल (R)
= 540 + 8 = 548.
अतः सही उत्तर 548 है।